Cho  C c ∞ ( R ) {\displaystyle {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}  là tập các hàm bướu, nghĩa là không gian các hàm trơn với giá compact trên đường thẳng thực \mathbb{R}. Thì ánh xạ

p . v . ⁡ ( 1 x ) : C c ∞ ( R ) → C {\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }

được xác định qua giá trị chủ yếu Cauchy bởi

[ p . v . ⁡ ( 1 x ) ] ( u ) = lim ε → 0 + ∫ R ∖ [ − ε ; ε ] u ( x ) x d x = ∫ 0 + ∞ u ( x ) − u ( − x ) x d x for  u ∈ C c ∞ ( R ) {\displaystyle \left[\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\right](u)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{\mathbb {R} \setminus [-\varepsilon ;\varepsilon ]}{\frac {u(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\quad {\text{for }}u\in {C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )}

là một phân bố. Ảnh xạ tự nó đôi khi có thể được gọi là giá trị chủ yếu (vì thế ký hiệu p.v.). Ví dụ, sự phân bố này xuất hiện trong biến đổi Fourier của hàm bậc thang đơn vị.

Sự xác định rõ là một phân phối

Để chứng minh sự tồn tại của giới hạn

∫ 0 + ∞ u ( x ) − u ( − x ) x d x {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}

với một hàm Schwartz  u ( x ) {\displaystyle u(x)} , đầu tiên chú ý rằng u ( x ) − u ( − x ) x {\displaystyle {\frac {u(x)-u(-x)}{x}}}  liên tục trên  [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} ,do

lim x ↘ 0 u ( x ) − u ( − x ) = 0 {\displaystyle \lim \limits _{x\searrow 0}u(x)-u(-x)=0}  và từ đó ta có lim x ↘ 0 u ( x ) − u ( − x ) x = lim x ↘ 0 u ′ ( x ) + u ′ ( − x ) 1 = 2 u ′ ( 0 ) , {\displaystyle \lim \limits _{x\searrow 0}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}=\lim \limits _{x\searrow 0}{\frac {u'(x)+u'(-x)}{1}}=2u'(0),}

bởi vì  u ′ ( x ) {\displaystyle u'(x)}  liên tục và áp dụng Quy tắc LHospitals.

Do đó  ∫ 0 1 u ( x ) − u ( − x ) x d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}  tồn tại và bằng cách áp dụng định lý giá trị trung bình cho  u ( x ) − u ( − x ) {\displaystyle u(x)-u(-x)} , ta có

| ∫ 0 1 u ( x ) − u ( − x ) x d x | ≤ ∫ 0 1 | u ( x ) − u ( − x ) | x d x ≤ ∫ 0 1 2 x x sup x ∈ R | u ′ ( x ) | d x ≤ 2 sup x ∈ R | u ′ ( x ) | {\displaystyle \left|\int \limits _{0}^{1}{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq \int \limits _{0}^{1}{\frac {|u(x)-u(-x)|}{x}}\,\mathrm {d} x\leq \int \limits _{0}^{1}{\frac {2x}{x}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|\,\mathrm {d} x\leq 2\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|u'(x)|} .

Hơn nữa

| ∫ 1 ∞ u ( x ) − u ( − x ) x d x | ≤ 2 sup x ∈ R | x ⋅ u ( x ) | ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = 2 sup x ∈ R | x ⋅ u ( x ) | , {\displaystyle \left|\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {u(x)-u(-x)}{x}}\,\mathrm {d} x\right|\leq 2\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=2\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|x\cdot u(x)|,}

chúng ta lưu ý rằng ánh xạ p . v . ⁡ ( 1 x ) : C c ∞ ( R ) → C {\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:\,{C_{c}^{\infty }}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }  bị chặn bởi các bán chuẩn thông thường cho các hàm Schwartz  u {\displaystyle u} . Do đó ánh xạ này xác định, vì nó rõ ràng tuyến tính, phiếm hàm liên tục trên không gian Schwartz và do đó là một hàm suy rộng ôn hoà.

Lưu ý rằng chứng minh cần u {\displaystyle u}  chỉ khả vi liên tục trong một lân cận của 0 và  x u {\displaystyle xu} bị chặn về vô cùng. Giá trị chủ yếu vì thế được định nghĩa trên các giả thiết thậm chí yếu hơn chẳng hạn như u {\displaystyle u} khả tích với giá compact và khả vi tại 0.

Các định nghĩa tổng quát hơn

Giá trị chủ yếu là phân phối ngược của hàm x {\displaystyle x} và gần như là phân phối duy nhất với tính chất này:

x f = 1 ⇒ f = p . v . ⁡ ( 1 x ) + K δ , {\displaystyle xf=1\quad \Rightarrow \quad f=\operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)+K\delta ,}

trong đó  K {\displaystyle K} là một hằng số và δ {\displaystyle \delta } là phân phối Dirac.

Trong một ý nghĩa rộng hơn, giá trị chủ yếu có thể được định nghĩa cho một lớp rộng các hạt nhân tích phân kỳ dị trên không gian Euclide  R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Nếu  K {\displaystyle K} nó có một điểm kỳ dị cô lập tại gốc, nhưng là hàm "đẹp" theo cách khác, thì phân phối giá trị chủ yếu được xác định dựa trên hàm trơn có giá compact bởi

[ p . v . ⁡ ( K ) ] ( f ) = lim ε → 0 ∫ R n ∖ B ε ( 0 ) f ( x ) K ( x ) d x . {\displaystyle [\operatorname {p.\!v.} (K)](f)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\varepsilon (0)}}f(x)K(x)\,\mathrm {d} x.}

Một giới hạn như vậy có thể có hoặc không được xác định rõ ràng nhưng nó có thể không nhất thiết phải xác định một phân phối. Tuy nhiên nó được xác định rõ khi  K {\displaystyle K}  là một hàm thuần nhất liên tục của độ − n {\displaystyle -n} có tích phân trong hình cầu bất kỳ với tâm tại gốc biến mất. Ví dụ, đây là trường hợp với các phép biến đổi Riesz.